Ecuación:

Se define la ecuación de una onda como la expresión que nos permite conocer el estado de vibración de cualquier punto del medio en cualquier instante. Para deducirla vamos a suponer una onda transversal generada por un oscilador armónico que se propaga a velocidad constante de izquierda a derecha a lo largo de una cuerda. Supondremos que no existe pérdida de energía en la propagación por lo que todos los puntos vibran con igual amplitud y frecuencia.

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Onda generada en una cuerda por un oscilador armónico:

El oscilador armónico de la figura atado a la cuerda azul genera una perturbación en ella que es, idealmente, una onda armónica de amplitud A. Dentro de la cuerda, cualquier punto P vibrará siguiendo el m.a.s del foco pero con un cierto retardo que depende de la distancia x a la que se encuentre del mismo.

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La ecuación que rige el centro emisor, situado en el origen de coordenadas, es la ecuación del m.a.s:

 

                                                                              y=A⋅sin(ω⋅t+φf)

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Donde ω es la frecuencia angular del foco, A su amplitud y φf es su fase inicial que determina el estado inicial de vibración, esto es, la posición y del foco en el instante t=0.

Observa que cualquier punto genérico P que diste una distancia x del foco vibrará de manera análoga a este, siguiendo un m.a.s., pero lo hará con un cierto retraso t', por lo que la ecuación con la que podemos describir la vibración del punto P será:

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                                                                              y=A⋅sin(ω⋅(t−t')+φf)

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Por otro lado, sabemos que la onda tiene una velocidad de propagación constante por lo que el tiempo t' que tardará en llegar desde el origen a x vendrá dado por t'=x/v, quedando:

 

                           y=A⋅sin(ω⋅(t−xv)+φf)=[1]A⋅sin(k⋅v⋅t−k⋅x+φf)=[2]A⋅sin⎛⎝⎜k⋅x−k⋅v⋅t−φf±πφ0⎞⎠⎟=A⋅sin(k⋅(x−v⋅t)+φ0)

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Donde hemos considerado:

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                                                                [1]k=2⋅πλ=2⋅πv⋅T=ωv

                                                                [2]sin(a−b)=sin(b−a±π)

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Si en lugar de considerar una onda viajera hacia la derecha la hubiésemos considerado hacia la izquierda, el desarrollo hubiese sido análogo salvo que el factor x-v·t sería x+v·t.

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La ecuación general de una onda armónica unidimensional transversal, permite conocer la posición y que ocupa cualquier partícula situada a una distancia variable x del origen en un instante de tiempo t dado o bien conocer la posición y que ocupa una partícula situada a una distancia fija x del origen en cualquier instante de tiempo t considerando. Su expresión general, también conocida como ecuación de onda viajera o ecuación de onda progresiva viene dada por:

 

                                                                 y(x,t)=A⋅sin(k⋅(x±v⋅t)+φ0)

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Donde:

• y: Es la elongación de una partícula situada a una distancia x del origen en un instante t. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m)

• ±: Indica el sentido del desplazamiento de la onda. - hacia la derecha. + hacia la izquierda

• A: Amplitud máxima de la onda. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)

• k: Es el número de onda. Representa el número de ondas completas que tienen cabida en una longitud de 2·π metros.Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro a la menos uno (m-1)

• v: Velocidad de fase o de propagación de la onda. No se debe confundir con la velocidad de vibración de las partículas del medio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo (m/s)

• φ0: Es la fase inicial. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el radián (rad)

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La expresión anterior es, precisamente, la que define a las ondas armónicas (aquellas cuya perturbación es producida por un oscilador armónico), tal y como habíamos considerado al principio del apartado, donde habíamos omitido la fase φ0 por simplicidad ( φ0=0 ). Observa que la expresión cumple con la ecuación de propagación de las ondas mecánicas y=f(x±v⋅t) . Observa también la doble periodicidad de la ondarespecto al espacio y al tiempo.

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Finalmente, recuerda que, aunque hemos hecho nuestro desarrollo partiendo de una onda transversal propagándose en una cuerda para llegar a una ecuación general de ondas armónicas, su estudio es aplicable a ondas producidas en otros medios en los que se perturban otras magnitudes distintas de la posición y de las partículas. Este es el caso, por ejemplo, del sonido en el aire, en el que, podemos estudiar las diferencias de presión del aire como una composición de ondas armónicas. Es por esta razón que en ocasiones, en lugar de usar la variable y que suele hacer referencia a la posición, se utiliza la variable genérica ψ, quedando la ecuación general en la forma:

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                                                                                   ψ(x,t)=ψ0⋅sin(k⋅(x±v⋅t)+φ0)